單擺的週期

簡介/陳育霖
教學網頁[冒牌自然老師]
單擺是一個中學時期非常有代表性的物理系統, 套一句師大物理系傅祖怡老師常說的話, "學生都以為中學課本的實驗都一定誤差很大, 偏偏單擺的實驗結果總是那麼令人意外地準確."
拉格朗日(Lagrange)力學, 常常被當成物理系課程中, 大學一年級普通物理學與大二力學課程的分野, 需要相當的應用數學程度, 像是Jerry B. Marion所寫的力學教材就是從拉格朗日力學開始談起(儘管我有遇過名校物理系教授認為多數研究遇到的情形都不在拉格朗日力學條件限制內, 所以他教授古典力學課多數時間上的是牛頓力學、流體力學、剛體力學、彈性力學這些真實物理實驗當中常遇到的情形, 到最後兩週才提Lagrangian & Hamiltonian, 這與史丹佛大學物理教授Alexander L. Fetter和John Dirk Walecka的想法相近).
蔡沛愷學了微積分又看了台大物理系易富國老師以Feynman Lectures on Physics第二冊為參考教材的進階電磁學[簡介]之後, 學到了Feynman與易富國老師整理的"最小作用量原理(least action principle)", 所以一頭栽進這理論物理大師R. Feynman從高中起就魂牽夢縈研究的題目--拉格朗日方程式.
其實, 學過微積分的同學, 對此一定不陌生, 因為有個微分習題就是在計算光線如何折射才會在最短時間內達成, 或者救生員應該要如何才能在最短時間內救到海裡呼救的美女.  最小作用量原理的物理應用相當多, 並且內容十分吸引人, 套一句台大物理系陳卓老師說的"拉格朗日力學俱有神學色彩"

撰文/蔡沛愷
永和國中數理資優班2014年畢業班
擅長實驗技術
個人科學研究部落格http://m24639297.blogspot.tw/

有幾個方法能求出擺角不大的單擺的週期，求出的答案都是一樣的，在此介紹三種方法：
方法一：直接利用簡諧運動來近似



這是單擺擺動時的示意圖，當角度不大時，那一段擺動的圓弧可以大約近似成直線，而當做一個簡諧運動來求解，而回復力也就是重力在切線方向（水平方向）的分量──mgsinθ。
而當角度不大時，sinθ ≈ x/l
而回復力 F=mgsinθ= mgx/l =kx
比較得 k= mg/l
帶入簡諧運動週期公式：T=2π√(m/k)= 2π√(ml /mg)= 2π√(l/g)
即為小幅度單擺週期的公式。

方法二：







方法三，用力學能守恆的觀點來想

至於這個積分式，我其實也不會做，就交給偉大的電腦吧！
所以我利用wolfram alpha來計算




單擺週期大概就這樣~


蔡沛愷[右三]；101學年, 永和國中校慶, 數理資優班三個年級合照. 右起許心平、曹以琳、蔡沛愷、盧建方、王楷宇、吳宇翰、仲展麟
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