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重力位能─地表近似及通式
簡介/陳育霖
教學網頁[冒牌自然老師]
重力位能的形式, 困擾許多人, 從數值正負號到廣義公式與近地表近似形式的差異, 再在都讓初學者覺得不順眼. 此外中學課本推導若不使用微積分 ,過程讓許多人覺得"繁"(注意是繁不是難). 所以常常有人一知半解. 蔡沛愷身為數理資優生和大家分享他的發現. [這次插圖全部引自Hugh D. Young, Roger A. Freedman, T. R. Sandin, A. Lewis Ford, Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics (Addison-Wesley Series in Physics) (12th edition), 2008. 若有侵犯版權問題, 請告知, 並立即撤下]. 蔡沛愷很特別, 他自己是國中生, 然後文章開頭說"國中時"????
撰文/蔡沛愷
永和國中數理資優班2014年畢業班
擅長實驗技術
個人科學研究部落格http://m24639297.blogspot.tw/
國中時，有教到在「地表附近」的重力位能 U=mgh，但是高中課本，又有寫到重力位能是 U=-GMm/r ，其中G是萬有引力常數、M和m是兩物體的質量、r是物體和地表之間的距離。兩個式子為什麼長相差這麼多呢？因為重力位能的大小，取決於零位面（也就是定義位能為零的面）的位置，若物體在零位面以外，位能就大於零；反之，位能就會小於零。重力位能 U=-GMm/r的零位面定義在距離地表「無限遠」的地方。也就是說，所有的點，都包含在一個距離我們「無限遠」的球面中，就代表位能會是負值，若是距離越來越大，趨近於無窮大時，位能會接近於零（因為越來越靠近零位面）。也可以從數學的觀點來看，U=-GMm/r 是代表U和 -r 成反比，所以圖形是一條雙曲線，在第四象限，並且以x,y軸為漸進線（x軸代表距離、y軸代表位能）。從圖形也不難看出，y一直都為負值，且當x趨近於無窮大，y會趨近於零。
那麼 U=mgh 又是為什麼出現呢？其實這是 U=-GMm/r在地表附近的近似，詳細計算過程：
所以地表附近的重力位能可以寫為U=mgh
Supplement Box 陳育霖
一位體重700牛噸(大約70公斤重)感受到的地球引力隨著離地面距離而改變, 離地面五百萬公尺之後, 重量變成200牛頓(大約20公斤重).[引自Hugh D. Young, Roger A. Freedman, T. R. Sandin, A. Lewis Ford, Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics (Addison-Wesley Series in Physics) (12th edition), 2008]
重立是保守力, 計算重力(地球引力)由位置r1移動到r2對物體所做的功, 與所經路徑無關. [引自Hugh D. Young, Roger A. Freedman, T. R. Sandin, A. Lewis Ford, Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics (Addison-Wesley Series in Physics) (12th edition), 2008]
地球質量mE與太空人質量m所形成的系統所成的重力位能U與太空人對地心距離的關係圖[引自Hugh D. Young, Roger A. Freedman, T. R. Sandin, A. Lewis Ford, Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics (Addison-Wesley Series in Physics) (12th edition), 2008]
簡介/陳育霖
教學網頁[冒牌自然老師]
重力位能的形式, 困擾許多人, 從數值正負號到廣義公式與近地表近似形式的差異, 再在都讓初學者覺得不順眼. 此外中學課本推導若不使用微積分 ,過程讓許多人覺得"繁"(注意是繁不是難). 所以常常有人一知半解. 蔡沛愷身為數理資優生和大家分享他的發現. [這次插圖全部引自Hugh D. Young, Roger A. Freedman, T. R. Sandin, A. Lewis Ford, Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics (Addison-Wesley Series in Physics) (12th edition), 2008. 若有侵犯版權問題, 請告知, 並立即撤下]. 蔡沛愷很特別, 他自己是國中生, 然後文章開頭說"國中時"????
撰文/蔡沛愷
永和國中數理資優班2014年畢業班
擅長實驗技術
個人科學研究部落格http://m24639297.blogspot.tw/
國中時，有教到在「地表附近」的重力位能 U=mgh，但是高中課本，又有寫到重力位能是 U=-GMm/r ，其中G是萬有引力常數、M和m是兩物體的質量、r是物體和地表之間的距離。兩個式子為什麼長相差這麼多呢？因為重力位能的大小，取決於零位面（也就是定義位能為零的面）的位置，若物體在零位面以外，位能就大於零；反之，位能就會小於零。重力位能 U=-GMm/r的零位面定義在距離地表「無限遠」的地方。也就是說，所有的點，都包含在一個距離我們「無限遠」的球面中，就代表位能會是負值，若是距離越來越大，趨近於無窮大時，位能會接近於零（因為越來越靠近零位面）。也可以從數學的觀點來看，U=-GMm/r 是代表U和 -r 成反比，所以圖形是一條雙曲線，在第四象限，並且以x,y軸為漸進線（x軸代表距離、y軸代表位能）。從圖形也不難看出，y一直都為負值，且當x趨近於無窮大，y會趨近於零。
那麼 U=mgh 又是為什麼出現呢？其實這是 U=-GMm/r在地表附近的近似，詳細計算過程：
所以地表附近的重力位能可以寫為U=mgh
Supplement Box 陳育霖
一位體重700牛噸(大約70公斤重)感受到的地球引力隨著離地面距離而改變, 離地面五百萬公尺之後, 重量變成200牛頓(大約20公斤重).[引自Hugh D. Young, Roger A. Freedman, T. R. Sandin, A. Lewis Ford, Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics (Addison-Wesley Series in Physics) (12th edition), 2008]
重立是保守力, 計算重力(地球引力)由位置r1移動到r2對物體所做的功, 與所經路徑無關. [引自Hugh D. Young, Roger A. Freedman, T. R. Sandin, A. Lewis Ford, Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics (Addison-Wesley Series in Physics) (12th edition), 2008]
地球質量mE與太空人質量m所形成的系統所成的重力位能U與太空人對地心距離的關係圖[引自Hugh D. Young, Roger A. Freedman, T. R. Sandin, A. Lewis Ford, Sears and Zemansky's University Physics With Modern Physics (Addison-Wesley Series in Physics) (12th edition), 2008]
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