物理平方反比場－這是新北市永和國中數理資優班的網路教室

刻普勒(引自WiKi)                                            牛頓(引自WiKi)

簡介/陳育霖
教學網頁[冒牌自然老師]
最近八年級剛好利用時間研究了牛頓(Sir Isaac Newton，1643年1月4日－1727年3月31日，英語發音[ˈaɪzæk ˈnjutən])的萬有引力定律與刻普勒第三行星運動定律的關係，試圖找到沒有牛頓是否出現萬有引力定律。蔡沛愷又正好對電磁學課本的前段的向量微積分相當有心得。最後離開實驗室之前，我拋出了這個平方反比的物理存在意義。他想了這段平方反比場的發現，我未經修改直接貼上，歡迎大家路過的時候來指教一番。我順便在文末加上一段補充，讓大家早點進入狀況。

作者/蔡沛愷
永和國中數理資優班2014年畢業班
個人科學研究部落格http://m24639297.blogspot.tw/

想到日期:20121107
    若在座標原點上，有一個質點，則此質點會在這個空間中產生一個重力場，以輻射狀向外發散，因為重力場是由此質點所產生，所以可以說此質點為本重力場的「起點」。
    在充斥著力場的空間中，做一個小球，則在這個封閉球面上，會有場經過。若是向內進去的量等於向外出去的量，則稱此處的「散度」為零；若是向內進去的量大於向外出去的量，則此處的「散度」小於零；若是向內進去的量小於向外出去的量，則此處的「散度」大於零。通常，我們是求某一點的散度，只要想像一球包住此點，並讓這顆球的半徑趨近於零，就可以算出此點的散度了。
    各種向量場中，可能會有「起點」（向量場的發散、製造處，意即散度大於零）；也可能會有「終點」（向量場的聚集、吸收處，意即散度小於零）；也會有既非「起點」也不是「終點」的地方（散度剛好為零，也就是進出的量相等）
    而重力場，是一個強度和距離平方成反比的場，除了質點之外，散度皆為零（質點散度大於零）。這代表了，重力場，除了質點之外，不會無緣無故消失。而在質點的地方，因為散度大於零，代表重力場由此產生，向外發散。那麼為什麼沒有小於零的地方呢？因為沒有會「吸收」重力的物體，所以散度不會小於零。
    回到最初的問題，如果重力場是和距離的三次方成反比呢？不包含質點，計算出來散度的結果不會等於零，代表沒有質量的地方，重力場的進出的量也不會完全相等──既然沒有質量，就沒有「起點」；但是又沒有可以吸收重力的東西。所以這個三次方反比的假設是錯誤的。

計算過程：[大圖]

Supplement Box
繪圖/文/陳育霖
1687年, 牛頓在《自然哲學的數學原理》(拉丁文：Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica)書中正式發表了萬有引力定律(law of universal gravitation):
自然界中任何兩個物體都相互吸引, 引力的大小跟這兩個物體的質量m₁和m₂的乘積成正比, 跟它們的距離r的二次方成反比, 即

    F: 兩個物體之間的引力
    G: 萬有引力常數
    m1: 物體1的質量
    m2: 物體2的質量
    r: 兩個物體之間的距離

第谷布拉赫(Tycho Brache, 1546-1601, 丹麥)對火星觀測20年的精密數據, 讓長於數學的刻普勒(德語：Johannes Kepler, 1571年12月27日－1630年11月15日, 出生於奧地利)先後在1609年與1619年發表了行星運動的三個定律, 被稱為"中世紀科學與近代科學分水嶺".

第一定律，也稱橢圓定律、軌道定律：每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。

第二定律，也稱等面積定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的。
這一定律實際揭示了行星繞太陽公轉的角動量守恆。

第三定律，也稱週期定律：各個行星繞太陽公轉周期的平方和它們的橢圓軌道的半長軸的立方成正比。

關於向量微積分中的散度(divergence), 請看彭正峰博士的解釋[散度的意義]