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垂直圓周運動
簡介/陳育霖
台大物理博士候選人
教學網站: 冒牌自然老師
蔡沛愷，最近剛以國中生身分通過2014國際物理奧林匹亞初選，是全國少數通過的國中生之一。趁著某一節課的空檔，算出了以下有趣的結果與大家分享。
撰文/蔡沛愷
科學研究部落格: 蔡沛愷---at 永和數理資優班
上一篇轉動慣量的文章已經是半年前的事了......
很長一段時間沒有來寫了
這次我也寫了一篇比較長的文章
希望大家路過能停下來看看~
鉛 直面上的圓周運動，跟水平的圓周運動最大的不同在於，鉛直面上的運動會受到重力的影響，而水平面並沒有。因為有受到重力往下拉，所以自然不會是「等速率」 圓周運動，根據力學能守恆，越往上面，速率越小，到最高點時速率最小。那麼，在最底部至少要有多快的速率，才有可能成功繞行一圈呢？
垂直圓周運動示意圖
只要求出使最頂端不脫離軌道的最小速率，再利用力學能守恆，就可以推出在最底部的速率了。
下半部，要討論繞一圈的時間。
一整圈的時間，顧名思義，是把一小段一小段的時間加起來(這跟「顧名思義」其實沒什麼關係……)。 總之，時間等於距離除以速率，只要把圓環分成很多段，把每一段的距離，除以那一段的平均速率，在全部加起來就是答案了。要求出精確的時間，只要把每一段切 很小很小，近乎於一個點。再求出那一點的速率，相除就是很短很短的時間。再把很多很多很短很短的時間加起來，就是答案了。
在正式求解前，先推導速率跟角度的關係：
這是圓的一小段，當物體轉動了θ角，如圖所示，物體升高的距離：r(1-cosθ)。那麼假設在最底部的速度v0。
總時間：
最後一式是物理奧林匹亞2013初選題目，題目是要求那個’’1.5’’的係數，但並沒有要把積分算出來，根據wolframalpha的結果，積分出來的結果是叫做「橢圓函數」，不過我不會…所以就先把時間用這個積分式來表示。
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