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撰文/陳昱宏
永和國中數理資優班2014年畢業班
擅長數學思考
個人科學研究部落格http://james071401510.blogspot.tw/

有一個數列 1,1,2,1,1,2,3,2,1,1,2,3,4,3,2,1,1,2,3,4,5,4,3,2,1.........，有些人看到這個數列可能會疑惑的問：這個數列有什麼規律？的確，這個數列乍看之下沒什麼規律，既不是等差，也不是等比，那它到底是什麼呢？其實這個數列波浪型的數列，其中的數有增加，也有減少。
1.數列an的通解：
將 分節，分成(1,)(1,2,1,)(1,2,3,2,1,)(.....)
第一節的個數為1
第一到第二節的個數為4
第一到第三節的個數為9
.......
第一到第n節的個數為n²

[大圖]


分組討論即為所求。

如果把 的每個數字都分開(即10分成1,0)，形成一個新數列
2.求 通解：
將 分節，分成(1,)(1,2,1,)(1,2,3,2,1,)(.....)(1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,9,8,7,6,5,4,3,2,1)(....)
我們可以發現當最大值為1~9時，每一節總和為首項1，公差2=2*1的等差數列；當最大值為11~99時，每一節總和為首項24，公差4=2*2的等差數列；............；當最大值為n位數時，每一節總和為首項(n-1)位數的最後一節+2n，公差2*n的等差數列；若當最大值為10的n次方時，節總和為(n-1)位數的最後一節+(2n-1)。

[計算過程在此]

上述方法僅供參考，不一定為最快之解，也可能有瑕疵，如有錯，不吝指教。