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簡諧運動 part3

簡介/陳育霖
教學網頁[冒牌自然老師]
這是今年蔡沛愷關於簡諧運動系列最後一篇文章, 一直被"簡諧"打擾的同學可以暫時鬆一口氣, 但是不保證明年不會有....
這是談一個真正的物理例證, 告訴大家這套中學物理運算真的管用. 文中舉的例子正是資優生一年級入學沒多久就碰到的一個似懂非懂的分子作用力方程式 "蘭納─瓊斯勢"(Lennard-Jones potential), 細節須另外為文說明, 在此是以其位能最低點附近來幫助說明簡諧運動的效用. 這個位能形式十分常出現, 最早出現應該是用在解釋固體熱脹冷縮時.

撰文/蔡沛愷
永和國中數理資優班2014年畢業班
擅長實驗技術
個人科學研究部落格http://m24639297.blogspot.tw/

 再來就是簡諧運動的實例了。其實簡諧運動的實例太多了──圓周運動的投影、小擺角的單擺、U型管的液體震盪、水面浮體的上下移動、彈簧的振動……不勝枚舉，但是，我要在這裡介紹另一個比較特別的例子。

    兩個原子之間會有位能（蘭納─瓊斯勢，Lennard-Jones potential）存在，其位能和距離之間的函數圖形如下圖所示：
[大圖]



這是拿Geogebra畫出來的圖片，輸入函數y=x^-12－x^-6，就是Lennard-Jones potential的函數曲線(陳育霖註: 是Lennard-Jones potential的形式, 並不是真的完全就只是位置函數的12分之一次方與6分之一次方)。觀察圖片會發現，當兩個原子很靠近，位能會遽升，而到某個點，會慢慢上升，一定距離以外，就幾乎為零了。
    把上圖微分，就可以得到分子間作用力與距離之間的函數關係圖：
[大圖]



把位能函數微分，就會得到作用力的函數，觀察圖形會發現，跟位能一樣，原子之間的力也是距離很近時，大小快速增加，是負值的原因是在這麼近的距離內，是吸引力；而到了之後，就變成排斥力，但是距離越來越遠，力量就漸漸趨近於零了。
    講了這麼多，跟簡諧運動有甚麼關係呢？位能最小的時候（位能在下降的最低點，相對的，當時作用力為零，因為最低點的切線水平，故微分等於零），會對應到一個x值，也就是當時兩原子之間的距離。這時候，若把原子從這個穩定點（因為受力為零）移開一點點，再釋放，原子就會來回運動。為什麼呢？因為當兩原子距離較近時，會相排斥，回到力平衡點，又因為慣性，會再遠離一段距離，這時又變成吸引力，再把它吸回來，回到力平衡點……會呈現來回的規律運動。那我又要如何確定他是簡諧運動呢？簡諧運動的位能式：U=kx²/2 是一個拋物線，把這個拋物線平移，使其最低點和Lennard-Jones potential函數圖形的最低點重合，最後調整k值，就可以讓兩條曲線在最小值時互相近似。也就是說，Lennard-Jones potential曲線在位能最小的那一點，和簡諧運動的位能是相符的。另一方面，從原子受力的函數圖形來看，在受力為零的時候，也可以近似成y=kx，代表這也與簡諧運動的方程式相符。所以我們得到了另一個簡諧運動的例子，雖然肉眼無法直接看到，但是這種原子的震盪，的確是簡諧運動。