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簡諧運動─中學解法公式推導
簡介/陳育霖
教學網頁[冒牌自然老師]
簡諧運動, 在物理當中扮演重要角色, 許多物理現象可以直接或間接以簡諧運動的形式描述或者較為複雜的行為則以簡諧運動疊加而成. 自然界中普遍存在的振動像是樂器之類的發聲體的運動、高溫底下分子的振動、固態晶格中原子的振動乃至於振動傳播之後成為波動, 像是海洋中的波浪、地震波、聲波、電磁波這些都需要從簡諧運動出發. 由理想狀況的牛頓第二運動定律出發, 可以得到一個系統的二階微分方程(另外為文處理), 經過前人的努力發現, 簡諧運動微分方程的解剛好可以利用等速圓周運動的投影來詮釋. 一來方便容易理解, 二來解題速度快點. 但是真要了解簡諧運動, 如果一直把概念停留在圓周運動, 會讓自己增加許多困擾.
撰文/蔡沛愷
永和國中數理資優班2014年畢業班
個人科學研究部落格http://m24639297.blogspot.tw/
2012年12月12日星期三
簡諧運動（Simple Harmonic Motion , SHM），是自然界最簡單，最諧調的振動，所以稱之為「簡諧運動」。簡諧運動可以是為一個圓周運動對 x（或是y）軸上的投影。簡諧運動有些比較常見的：彈簧的振動、水的上下震動、U形管的振盪、圓周運動投影、單擺小角度擺動等，都是常見的簡諧運動。
簡諧運動若以圓周運動投影到x軸來看，可以寫出三條方程式
x(t) = Rcos(ωt+ψ)
v(t) = -Rωsin(ωt+ψ)
a(t) = -Rω2cos(ωt+ψ)
（R為振幅、ω為圓周運動的角速度、t 為經過的時間、ψ為初始角度）
先說明 x(t)怎麼出來的：
參考圖片，若紅色的圓點沿著圓周作等速率運動，投影到x軸上。當紅點移動了θ的角度，在x軸上的投影為 Rcosθ，但是我們希望以時間做變數，所以用角位移的定義：Δθ = ωt，代換掉θ，就變成了 x = Rcos(ωt)。那麼公式中的ψ又是哪裡來的呢？如果這個圓點不是乖乖從水平處（x軸上）開始運動，而是一開始就先有偏離x軸ψ的角度，那麼就要把轉動的角位移（ωt），在加上原本的初始角度ψ。於是我們就推導出來了，x(t) = Rcos(ωt+ψ)
那麼還有 v(t)跟 a(t)要怎麼辦呢？
第一種方法，可以用一點數學，用速度和加速度的定義──速度是位移函數的微分；加速度是速度函數的微分，就可以導出來了。
v(t) = dx/dt = d/dt[ Rcos(ωt+ψ)] = -Rωsin(ωt+ψ)
a(t) = dv/dt = d/dt[-Rωsin(ωt+ψ)] = -Rω2cos(ωt+ψ)
用一點數學技巧就得出來，速度和加速度函數的公式。
但是，有沒有更直觀的、不需靠那麼抽象的數學的方法呢？事實上是有的，
我們剛剛已經用圓周運動投影的圖，來導出了位移函數的公式了。現在一樣用圓周運動的投影圖，來導出速度及加速度函數：
速度函數：
利用圓周運動的切線速度公式：v = Rω ，再求出v的x分量，就是v在x軸上的投影了。當圓點偏離 x 軸 θ 的角度後，用幾何可得，速度方向和 y 軸夾角亦為 θ，故可得v的水平分量為 vsinθ，向位移函數那樣，把 θ 變為 ωt，在加上初始的角度ψ，就可以得出速度公式
v(t) = -Rωsin(ωt+ψ)
向量向右為正, vsinθ 向左, 故前面需要加負號
加速度函數：
利用圓周運動的加速度公式：a=Rω2 ，再求出 a 的 x 分量，就是 a 在 x 軸上的投影了。當圓點偏離 x 軸 θ 的角度後，用幾何可得，速度方向和x軸夾角為 θ，故可得 a 的水平分量為 acosθ，向位移函數那樣，把 θ 變為 ωt，在加上初始的角度 ψ，就可以得出加速度公式
a(t) = -Rω2cos(ωt+ψ)
向量向右為正, acosθ 向左, 故前面需要加負號
簡介/陳育霖
教學網頁[冒牌自然老師]
簡諧運動, 在物理當中扮演重要角色, 許多物理現象可以直接或間接以簡諧運動的形式描述或者較為複雜的行為則以簡諧運動疊加而成. 自然界中普遍存在的振動像是樂器之類的發聲體的運動、高溫底下分子的振動、固態晶格中原子的振動乃至於振動傳播之後成為波動, 像是海洋中的波浪、地震波、聲波、電磁波這些都需要從簡諧運動出發. 由理想狀況的牛頓第二運動定律出發, 可以得到一個系統的二階微分方程(另外為文處理), 經過前人的努力發現, 簡諧運動微分方程的解剛好可以利用等速圓周運動的投影來詮釋. 一來方便容易理解, 二來解題速度快點. 但是真要了解簡諧運動, 如果一直把概念停留在圓周運動, 會讓自己增加許多困擾.
撰文/蔡沛愷
永和國中數理資優班2014年畢業班
個人科學研究部落格http://m24639297.blogspot.tw/
2012年12月12日星期三
簡諧運動（Simple Harmonic Motion , SHM），是自然界最簡單，最諧調的振動，所以稱之為「簡諧運動」。簡諧運動可以是為一個圓周運動對 x（或是y）軸上的投影。簡諧運動有些比較常見的：彈簧的振動、水的上下震動、U形管的振盪、圓周運動投影、單擺小角度擺動等，都是常見的簡諧運動。
簡諧運動若以圓周運動投影到x軸來看，可以寫出三條方程式
x(t) = Rcos(ωt+ψ)
v(t) = -Rωsin(ωt+ψ)
a(t) = -Rω2cos(ωt+ψ)
（R為振幅、ω為圓周運動的角速度、t 為經過的時間、ψ為初始角度）
先說明 x(t)怎麼出來的：
參考圖片，若紅色的圓點沿著圓周作等速率運動，投影到x軸上。當紅點移動了θ的角度，在x軸上的投影為 Rcosθ，但是我們希望以時間做變數，所以用角位移的定義：Δθ = ωt，代換掉θ，就變成了 x = Rcos(ωt)。那麼公式中的ψ又是哪裡來的呢？如果這個圓點不是乖乖從水平處（x軸上）開始運動，而是一開始就先有偏離x軸ψ的角度，那麼就要把轉動的角位移（ωt），在加上原本的初始角度ψ。於是我們就推導出來了，x(t) = Rcos(ωt+ψ)
那麼還有 v(t)跟 a(t)要怎麼辦呢？
第一種方法，可以用一點數學，用速度和加速度的定義──速度是位移函數的微分；加速度是速度函數的微分，就可以導出來了。
v(t) = dx/dt = d/dt[ Rcos(ωt+ψ)] = -Rωsin(ωt+ψ)
a(t) = dv/dt = d/dt[-Rωsin(ωt+ψ)] = -Rω2cos(ωt+ψ)
用一點數學技巧就得出來，速度和加速度函數的公式。
但是，有沒有更直觀的、不需靠那麼抽象的數學的方法呢？事實上是有的，
我們剛剛已經用圓周運動投影的圖，來導出了位移函數的公式了。現在一樣用圓周運動的投影圖，來導出速度及加速度函數：
速度函數：
利用圓周運動的切線速度公式：v = Rω ，再求出v的x分量，就是v在x軸上的投影了。當圓點偏離 x 軸 θ 的角度後，用幾何可得，速度方向和 y 軸夾角亦為 θ，故可得v的水平分量為 vsinθ，向位移函數那樣，把 θ 變為 ωt，在加上初始的角度ψ，就可以得出速度公式
v(t) = -Rωsin(ωt+ψ)
向量向右為正, vsinθ 向左, 故前面需要加負號
加速度函數：
利用圓周運動的加速度公式：a=Rω2 ，再求出 a 的 x 分量，就是 a 在 x 軸上的投影了。當圓點偏離 x 軸 θ 的角度後，用幾何可得，速度方向和x軸夾角為 θ，故可得 a 的水平分量為 acosθ，向位移函數那樣，把 θ 變為 ωt，在加上初始的角度 ψ，就可以得出加速度公式
a(t) = -Rω2cos(ωt+ψ)
向量向右為正, acosθ 向左, 故前面需要加負號
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